[선형대수학] Frobenius norm

놈(노름) 이라고 읽는 Norm은 함수 f가 임의의 벡터 x, y 에 대해 아래와 같은 조건을 만족할 때 

이 함수 f = ||x|| 를 놈 이라고 한다.

쉽게 말해서 벡터나 행렬의 크기를 일반화 시킨것이다.

일반적으로 부르게 되는 Norm은 L2-Norm 이고, 

절대값 |.| 의 합이 L1-Norm 이다. 

예를 들어, 벡터 x가 [1, -10, 2] 라고 하면, 

N1-Norm 은 |1| + |-10| + |2| = 13 이 된다. 

L2-Norm은 원점과의 거리를 말하고, 제곱값의 합에 루트를 취해 계산한다. 

예를 들어, 아래와 같이 계산된다. 

그러므로 

Frobenius Norm (Euclidean Norm) 은 

대표적으로 L2-Norm 의 형태는 다음과 같다.

서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원.

임의의 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$에 대하여, 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위에 다음과 같은 노름 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p}}$을 정의할 수 있으며, 이를 ℓ^p 노름이라고 한다.

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

여기서 ${\displaystyle p=2}$인 경우는 표준적인 유클리드 노름

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$

이다. 만약 ${\displaystyle p=\infty }$일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}}$

이 된다. ${\displaystyle p=1}$인 경우는 맨해튼 노름

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}$

이 된다.

${\displaystyle \ell ^{p}}$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

${\displaystyle \Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}}$

여기서의 p에 따라 

p=1 일 때, 맨해튼 놈

p=2 일 때, Euclidean Norm

p=∞ 일 때, Maximum Norm 이라고 칭한다. 

예를 들어보면 다음과 같다. 

Frobenius norm의 경우는 아래와 같다. 

출처 1 : https://blog.naver.com/bblvjm/221091754721

출처 2 : http://egloos.zum.com/dmagjgj/v/5123769

출처 3 : http://freshrimpsushi.tistory.com/257

출처 4 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%85%B8%EB%A6%84_%EA%B3%B5%EA%B0%84